در ر یک بر روی تابع پله خوانده می شود اگر بتوان آن را به صورت از نوشت. به زبان ساده تر، یک تابع پله یک است که تعداد تکه‌های متناهی باشد.
 
مثالی از یک تابع پله ای (خط قرمز). این تابع پله است.

تعریف و نتایج ابتدایی

تابعی مثل {displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }، یک تابع پله خوانده می‌شود اگر بتوان آنرا به شکل زیر نوشت {displaystyle f(x)=sum limits _{i=0}^{n}alpha _{i}chi _{A_{i}}(x),} {displaystyle ngeq 0} و {displaystyle alpha _{i},} و A_i یک زیر مجموعه و {displaystyle chi _{A},}  

χ {displaystyle chi _{A}(x)={begin{cases}1&{mbox{if }}xin A,�&{mbox{if }}xnotin A.end{cases}}}

 A_i را می توان دارای خواص زیر دانست:

  1. فاصله‌ها هستند، {displaystyle A_{i}cap A_{j}=emptyset } و {displaystyle ineq j}
  2. فاصله‌ها برابر کل خط حقیقی (محور حقیقی) است،{displaystyle cup _{i=0}^{n}A_{i}=mathbb {R} .}.

در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می توان مجموعه ای از فاصله‌های مختلف را در نظر گرفت که فرض‌ها در مورد آنها صدق کنند. برای مثال، تابع پله

{displaystyle f=4chi _{[-5,1)}+3chi _{(0,6)},}

را می توان به شکل زیر نوشت

 {displaystyle f=0chi _{(-infty ,-5)}+4chi _{[-5,0]}+7chi _{(0,1)}+3chi _{[1,6)}+0chi _{[6,infty )}.,}

مثال‌ها

 
یک تابع پله ای است که زیاد استفاده دارد.
  • یک مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، {displaystyle A_{0}=mathbb {R} }.
  • (H(x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمون‌های یک مفهوم ریاضی نهفته است، مثل آنهایی که برای بدست آوردن یک مورد استفاده قرار می گیرند.
 
، تابع پله ای ساده دیگر.
  • ، صورت نرمال شده یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می گیرد.

مثال‌های اشتباه

  • تابع با توجه به این مقاله یک تابع پله نیست، زیرا دارای تعداد بینهایت فاصله است. ولی، برخی توابه پله ای تعریف می کنند که دارای تعداد بینهایت فاصله است. * .

خواص

  • جمع و ضرب دو تابع پله ای یک تابع پله ای است. حاصلضرب یک تابع پله ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله ای است. در نتیجه تابع پله ای بر روی اعداد حقیقی یک را تشکیل می دهد.
  • یک تابع پله ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله‌ها{displaystyle A_{i},}، به ازای {displaystyle i=0,1,dots ,n,} در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد {displaystyle xin A_{i}} داریم  {displaystyle f(x)=alpha _{i},}